1  Úvod

Snad každý člověk si láme hlavu s různými nevysvětlitelnými jevy. Jak to, že jsem potkal toho a toho člověka právě tehdy a tehdy? Jak to, že mi padla pětkrát za sebou šestka, když je to naprosto nepravděpodobné? Jak to, že mi prasklo zrcadlo, právě když babička umřela? Někdo si takové věci vysvětluje boží vůlí, někdo spekuluje o síle mysli, někdo řekne, že to byla náhoda.

Jedním z prvních badatelů, kteří se těmito věcmi začali zabývat z pozice vědy, byl Carl Gustav Jung, a to ve své populární práci Synchronicity: An Acasual Connecting Principle (Synchronicita, nekauzální spojující princip), uveřejněné například v knize [2].

Článek, který čtete, se zabývá kapitolou An Astrological Experiment (Astrologický experiment) uvedené práce z hlediska matematické statistiky. Text je psán takovým způsobem, aby jeho čtenář nemusel mít žádné znalosti z matematiky. Pro ty, kdo se v matematice vyznají, jsou určeny přílohy, v nichž najdou matematický model, který byl v experimentu použit, údaje o jeho citlivosti a výpis použitých dat.

Jung se ve své práci pokoušel dokázat, že vzájemné úhly některých astrologických prvků¹ (Slunce, Luny, Marsu, Venuše a obzoru - ascendentu) muže a ženy souvisí s tím, zda jsou či nejsou v manželském stavu.

Astrologové (zejména takzvaní tradiční) považují za významné ty úhly (aspekty), které dělí kruh na stejné části (0 stupňů - konjunkce, 180 stupňů - opozice, 120 stupňů - trigon, 90 stupňů - kvadratura atd.). Ucelený přehled západní astrologie lze nalézt v knize [3].

Hypotéza, která je v Jungově práci ověřována, zní:

Výskyt konjunkcí a opozic vybraných astrologických prvků je vyšší u dvojic sezdaných než u nesezdaných.

Jung shromáždil celkem 483 dvojic horoskopů manželských párů, přičemž zkoumal nejprve 180 párů, později jiných 220 párů, ještě později pak 83 dalších.

Z prvního vzorku 180 dvojic vytvořil kombinacemi »kontrolní vzorek« 180 ×179 = 32220 nesezdaných dvojic. Pro každý z 25 kombinací pěti uvažovaných prvků sečetl výskyt konjunkcí a opozic, dosažených s přesností (orbisem) plus minus 8 stupňů, u 180 manželských i u 32220 uměle vytvořených dvojic a srovnával rozdíl jejich relativního výskytu (zda a o kolik procent je tento relativní výskyt vyšší u manželů než u nesezdaných).

Zatímco u některých aspektů získal výrazně odlišné hodnoty (u několika výrazně vyšší, u několika výrazně nižší), u většiny ostatních byl výskyt aspektů u manželů a u kontrolního vzorku srovnatelý. Průměrný výskyt všech aspektů (tj. veličina, kterou Jung primárně zkoumal) vyšel téměř stejný u sezdaných jako u nesezdaných.

Druhý vzorek (220 párů) vykazoval dle slovní informace a několika publikovaných údajů méně výrazné rozdíly, o třetím vzorku nejsou v práci téměř žádné informace.

Chceme-li ověřovat nějakou hypotézu týkající se celé populace, většinou není možné měřit zkoumané veličiny u všech jejich členů. Není to ani nutné, protože lze získat dostatečně přesné informace i z malého vzorku. Při zkoumání vzorku (místo celé populace) je však nutno dodržet několik pravidel:

1. Nejprve formulovat hypotézu, potom zkonstruovat test a až nakonec se seznámit s daty. V případě, že byla hypotéza učiněna na základě údajů z nějakého vzorku, je nutno ji ověřit na jiném vzorku, aby se minimalizovalo nebezpečí přijetí hypotézy, motivované nějakou »náhodnou« fluktuací.
2. Mechanismus, který vzorek vybíral, nesmí záviset na zkoumané vlastnosti.²
3. Je třeba brát v úvahu, že jsou odhady zatíženy určitou nepřesností - čím menší je vzorek, tím větší je nepřesnost.

Nebezpečí, že nepřesný údaj potvrdí nějakou nesprávnou hypotézu (tzv. chyba prvního druhu) nebo že se díky nepřesnoti nepotvrdí správná hypotéza (chyba druhého druhu), existuje i při dodržení všech pravidel. I když lze toto riziko vyčíslit pomocí pravděpodobnosti³, záleží nakonec na badateli (a jeho kriticích), zda výsledky uznají.

Přesnější popis konstrukce statistických testů je uveden v příloze A.

Test je založen na srovnání relativního výskytu jednotlivých aspektů u 180 sezdaných a 32220 uměle vytvořených nesezdaných dvojic. Úvaha je následující: v případě, že je výskyt aspektu v populaci stejný u manželů jako u nesezdaných dvojic, bude relativní četnost aspektů podobná ve vzorku sezdaných jako ve vzorku nesezdaných. Pokud vyjde rozdíl kladný a dosti velký, je pravděpodobné, že hypotéza o stejném výskytu aspektů u manželů jako u nesezdaných neplatí (platí tedy alternativní hypotéza, že je větší u manželů). Čím větší rozdíl vyjde, tím přesvědčivěji hypotézu popírá. Vyčíslit tuto přesvědčivost lze pomocí takzvané dosažené hladiny, která vyjadřuje pravděpodobnost v rámci používaného modelu, že by test za platnosti hypotézy svědčil takto nebo ještě více v neprospěch hypotézy. Přesný popis testu, použitého v astrologickém experimentu, je uveden v příloze B.1.

Jung se snažil hypotézu o rovnosti výskytů vyvrátit pomocí srovnání průměrného výskytu zkoumaných aspektů - to znamená, že sečetl výskyt prvního, druhého až padesátého aspektu u 180 sezdaných párů, vydělil výsledek počtem párů, totéž učinil u 32220 uměle vytvořených dvojic a srovnával. Výsledek se lišil o 0,07 %, což na zamítnutí hypotézy o rovnosti výskytu nestačí ani z velkého daleka. Nato prohlásil, že statistika vytváří bludný obraz světa, a dále interpretoval jednotlivá čísla.

Přitom se právě v tomto místě dopustil chyby. Nebral v úvahu možnost, že by se u manželů vyskytovaly častěji jen některé aspekty, některé by se stavem manželským nesouvisely a některé by se naopak u manželů vyskytovaly méně než u nesezdaných.⁴ Pokud by se například čtvrtina aspektů vyskytovala u manželů o 5 % častěji, polovina stejně a čtvrtina o 5 % méně často, průměrný relativní výskyt vyjde přesně stejný.

To, že se výskyt některých jednotlivých aspektů výrazně liší, pokládal Jung za náhodné fluktuace, jde přitom o legitimní významný výsledek testu hypotézy, že se liší výskyt právě jednoho aspektu.⁵ Jung si dokonce nechal jistým profesorem matematiky vypočítat dosažené hladiny testu těchto hypotéz⁶ a udivilo ho, jak jsou v některých případech nízké (viz B.3), vysvětloval si to však spekulacemi o vlastním podvědomém ovlivňování výsledků. Co všechno lze podvědomím ovlivnit, není předmětem tohoto článku, ale zdá se, že jediné, co by mohlo být takto ovlivněno, je výběr vzorku (viz níže).

Testy výskytu jednotlivých aspektů vcelku potvrzují tradiční pravidla, o kterých Jung ve své práci mluví - jako související se stavem manželství (s dosaženou hladinou nižší než 5 %) se ukázaly: konjunkce ženiny Luny s mužovým Sluncem (dosažená hladina menší než 1 %), konjunkce ascendentu ženy s Venuší muže ( < 1 %), konjunkce ženiny Luny s ascendentem muže (2,3 %), opozice Luny ženy a Slunce muže (3,9 %) a konjunkce Lun (4,9 %). Kompletní výsledky jsou uvedeny v příloze B.3.

Naopak jako významně »nepodporující« manželství vyšly: Slunce konjunkce Slunce (1,4 %), Slunce opozice Slunce (1,4 %) a Mars opozice Mars (4,2 %). To je ovšem jen pro zajímavost, závěry bychom z toho mohli činit, jen pokud bychom si již dopředu vytipovali všechny aspekty nepodporující manželství a tyto byly mezi nimi.

O výsledcích dosažených druhým (220 párů) a třetím vzorkem (83 párů) máme méně informací - u druhého vzorku jsou výsledky publikovány jen pro 14 aspektů, u třetího pak jen pro tři.

Co se týče druhého vzorku, dozvídáme se slovní informaci, že jsou jeho výsledky horší s výjimkou konjunkce Luny s Lunou (dosažená hladina < 1 %). Z aspektů »úspěšných« v prvním vzorku víme jen o významném výsledku opozice Slunce u ženy a Luny u muže (4,9 %), výskyt ostatních není publikován (lze se domnívat, že nešlo o významné hodnoty). Přitom je druhý vzorek rozsáhlejší než první - v případě, že by byly první i druhý vzorek vybrány ze stejné populace, měly by se zvláště nejvýraznější výsledky přesvědčivě potvrdit.

Z třetího vzorku jsme informováni jen o výsledcích tří aspektů, žádný z nich není významný.

Z výsledků lze učinit závěr, že se u prvního vzorku prokázala závislost vzájemné polohy některých prvků horoskopu u dvojic a faktu, že dvojice je ve stavu manželském. Tato závislost však byla jen z malé části potvrzena druhým vzorkem. To, že ve třetím vzorku nevyšly signifikantní výsledky, je nejspíš způsobeno značně menším rozsahem a tím i menší citlivostí testu (viz B.2).

Na základě rozdílných výsledků prvního a druhého vzorku se lze domnívat, že nebyly vybrány ze stejné populace, tím méně pak, že jsou reprezentativní. O jejich původu Jung píše jen to, že byly získány od dárců z Curychu, Londýna, Říma a Vídně a že byly původně shromažďovány pro astrologické potřeby. Je dost nepravděpodobné, že ti, kteří materiál shromažďovali, vybírali náhodně z celé populace. Spíš lze předpokládat, že vzorky reprezentují tu část populace, která má s astrologií něco společného. K této domněnce nás vede fakt, že málokdo zná čas svého narození, jenž je k sestavení horoskopu potřeba, a málokdo jej někomu sděluje právě s výjimkou astrologů a lidí využívajících jejich služeb - to jest těch, kteří se často vědomě či nevědomě řídí pravidly, která se zde dokazují jako objektivní.⁷

Kdybychom věděli, z jaké populace a jakou metodou byly vzorky vybírány, mohli bychom prohlásit, že pro příslušnou populaci se platnost hypotézy prokázala, takto nelze dělat žádné obecné závěry.

Sečteno a podtrřeno, Jung prokázal, že v prvních dvou vzorcích, které měl k dispozici, existuje souvislost mezi manželským stavem a některými zkoumanými aspekty. Protože se ale výsledky všech obou vzorků liší, alespoň jeden z nich není reprezetativním výběrem, a proto z dosažených výsledků nelze činit obecné závěry o celé populaci.

Díky počítačům dnes není problém zpracovávat i velmi rozsáhlé vzorky, zvláště v tomto případě, kdy jsou jedinými vstupními údaji datum, čas a místo narození. Problémem je však získání těchto údajů.

Místa a časy narození se evidují v porodnicích, tam se však nelze dozvědět, zda a s kým daná osoba uzavřela sňatek. Data narození manželů by snad bylo možné získat na matrice. Tam však nelze zjistit místo a čas.

Neznáme-li čas narození, můžeme sice určit dosti přesně polohu Slunce, Marsu a Venuše, postavení Luny však jen s přesností plus minus 7 stupňů (čímž ztratíme přibližně polovinu jejích aspektů a stejné množství nepravých získáme), postavení ascendentu pak nelze určit vůbec.

Známe-li čas, ale ne místo narození, zjistíme dosti přesně postavení Luny, polohu ascendentu však určíme (v případě, že se daná osoba narodila v bývalém Československu), jen s přesností plus minus 4 stupně (čímž ztratíme čtvrtinu jeho aspektů).

Když provedeme výběrové šetření (budeme se ptát náhodně vybraných osob), dostaneme nepřesné údaje, protože lidé se bojí své datum narození sdělovat a kromě toho ti, kdo znají čas svého narození, mají spíše něco společného s astrologií než ti, kdo ho neznají, pročež by vzorek získaný výběrovým šetřením nebyl reprezentativní.

Jako jediná možnost se jeví oželet aspekty ascendentu a sebrat tak velké množství dat z matrik, že se případná zákonitost projeví i při nepřesném postavení Luny. Data by bylo nutno zjistit v matrikách sídel různých velikostí a vzorek by musel dodržet poměr zastoupení obyvatel sídel různé velikosti v populaci.

Chceme-li potrvrdit nějakou hypotézu (oproti nějaké alternativně), je nutno nejprve zformulovat model, určit co největší množinu možných výsledků (tzv. kritický obor), které svědčí pro hypotézu a přitom je dost malá pravděpodobnost⁸, že by tyto výsledky byly jen nějakou »náhodnou« fluktuací (tato pravděpodobnost se nazývá hladina testu), a pak teprve pozorovat, zda výsledek experimentu do kritického oboru padl. Pokud ano, hypotézu přijmeme.⁹ Pokud výsledky do kritického oboru nepadnou, neznamená to automaticky, že přijmeme alternativní hypotézu. V takovém případě jsou totiž ještě dvě možnosti. Výsledky mohou padnout do kritického oboru alternativní hypotézy (v tom případě přijímáme ji), nebo se nepotvrdí ani jedna hypotéza. Čím větši bude rozsah vzorku, tím menší bude »území nikoho« mezi kritickými obory hypotézy a alternativy, tedy i pravděpodobnost, že test dopadne »nerozhodně«.

Očíslujme jednotlivé aspekty od 1 do 50, muže od 1 do 180 a ženy od 1 do 180 tak, že manželé mají stejné číslo. Nechť p_i označuje pravděpodobnost, že u sezdaného páru nastal s přesností plus mínus 8 stupňů aspekt i, q_i pak pravděpodobnost, že i-tý aspekt nastal u nesezdaného páru. Z_i,j,k nechť je náhodná veličina, která je rovna jedné, pokud u j-tého muže a k-té ženy ze vzorku nastal aspekt i, jinak nechť je tato veličina nulová. Pravděpodobnost p_i výskytu aspektu i u manželů se odhaduje veličinou M_i = [1/180]ĺ_{j = 1}¹⁸⁰Z_i,j,j, pravděpodobnost q_i výskytu téhož aspektu u ostatních pak pomocí U_i = [1/32220]ĺ_{j = 1}¹⁸⁰ĺ_{k = 1, k ą j}¹⁸⁰Z_i,j,k

Nulová hypotéza Hⁱ₀ zní: p_i = q_i, alternativa Hⁱ₁ pak: p_i ł q_i. Za platnosti Hⁱ₀ lze předpokládat, že pozice X_i,j ve stupních prvního prvku tvořícího aspekt i u muže j a pozice Y_i,k druhého prvku u ženy k jsou vesměs nezávislé, stejně rozdělené náhodné veličiny pro každé i. Veličinu Z_i,j,k lze vyjádřit jako Z_i,j,k = I_M(X_i,j), I_M je indikátor (charakteristická funkce) sjednocení intervalů